УДК 125

 

Годарев-Лозовский Максим Григорьевич – председатель Санкт-Петербургского Философского клуба Российского философского общества (Дом ученых в Лесном), руководитель научно-философского семинара Российского философского общества в Санкт-Петербурге, Санкт-Петербург, Россия.

Email: godarev-lozovsky@yandex.ru

SPIN: 4964-9724

ORCID: 0000-0002-3511-0854

Авторское резюме

Состояние вопроса: Потенциальная бесконечность подразумевает некоторую «область становления», то есть непеременное и актуально бесконечное множество значений. Известно также, что если формальная система непротиворечива, то в ней не выводима некоторая формула, содержательно утверждающая непротиворечивость этой системы. В настоящее время оба утверждения не представляются ученым логически связанными.

Результаты: На модели познания числа π можно показать, что актуально бесконечное множество знаков этого числа потенциально бесконечно познается наукой. При этом объектом познания является актуально бесконечное знание. При переходе от носителя информации к человеческому знанию информация приобретает смысл. Теоремы Гёделя о неполноте указывают: при переходе от «знания о конечном» к «знанию о бесконечном» происходит смысловой переход к числам, недостижимым с помощью математической индукции.

Область применения результатов: Результаты исследования могут быть использованы для построения новейших алгоритмов вычислений последовательности знаков счетного множества и осмысления заложенной в иррациональных числах информации.

Выводы: Современная наука страдает неосознанным страхом перед бесконечностью. Избежать этот страх поможет следующий принцип: актуальная бесконечность потенциально бесконечно познаваема.

 

Ключевые слова: потенциальная и актуальная бесконечность; информация и материальный носитель информации; индуктивные и неиндуктивные числа.

 

Numerical Model of Cognition of the Infinite

 

Godarev-Lozovsky Maxim Grigorievich – Chairman of the Saint Petersburg Philosophical Club of the Russian Philosophical Society (House of Scientists in Lesnoy), head of the scientific and philosophical seminar of the Russian Philosophical Society in Saint Petersburg, Saint Petersburg, Russia.

Email: godarev-lozovsky@yandex.ru

Abstract

Background: Potential infinity implies a certain “domain of becoming”, i. e. a non-variable and actually infinite set of values. It is also known that if a formal system is consistent, then it does not derive some formula that meaningfully asserts the consistency of this system. At the present time, both statements seem not logically related.

Results: On the model of the number pi cognition, we have shown that an actual infinite set of signs of this number is potentially infinitely cognizable by science. In this case, the object of cognition is actually infinite knowledge. In the transition from an information carrier to human knowledge, information acquires meaning. Gödel’s incompleteness theorems indicate that in the transition from “knowledge of the finite” to “knowledge of the infinite” there is a semantic transition to numbers that are unattainable by mathematical induction.

Implications: The results of the study can be used to construct the latest algorithms for calculating the sequence of signs of a countable set and understanding the information inherent in irrational numbers.

Conclusion: Modern science suffers from an unconscious fear of infinity. The following principle will help to avoid this fear: actual infinity is potentially infinitely cognizable.

 

Keywords: potential and actual infinity; information and material information carrier; inductive and non-inductive numbers.

 

1 Неявные предпосылки концепции числа π

Первый возникающий вопрос: может ли научная концепция включать в себя неразрешимые в Гёделевом смысле предложения?

 

Известно, что К. Гёдель показал: в содержательных формальных системах имеются неразрешимые предложения, то есть предложения, которые недоказуемы и одновременно неопровержимы. Первая теорема Гёделя о неполноте: если формальная арифметика непротиворечива, то в ней существует невыводимая и неопровержимая формула. Вторая теорема Гёделя о неполноте: если формальная арифметика непротиворечива, то в ней невыводима некоторая формула, содержательно утверждающая непротиворечивость этой арифметики.

 

При этом теоремы Гёделя в настоящее время философски обобщают следующим образом: внутри некоторой системы знаний нельзя доказать, что эта система непротиворечива. Не существует полной и непротиворечивой системы знаний: либо система непротиворечива, либо не полна, а полная формализация не может быть завершена.

 

Мы полагаем, что прав А. В. Бессонов, который показывает, что не выводимость некоторой формулы, содержательно утверждающей непротиворечивость арифметики, не значит, что не выводимы все формулы, содержательно утверждающие непротиворечивость этой арифметики. Более того, он продемонстрировал доказуемую формулу, которая вполне выражает непротиворечивость формальной арифметики и аксиоматики Пеано (РА). Интересно, что этот автор средствами математической логики убедительно доказывает следующую, третью теорему о неполноте. «Если РА непротиворечива, то для любой формулы А формула, “выражающая” недоказуемость А, недоказуема в РА.

 

Если РА ω-непротиворечива, то для любой недоказуемой в РА формулы А формула, “выражающая” недоказуемость А, неразрешима в РА» [1, с. 186]. Таким образом, А. В. Бессонов полагает: если PA непротиворечива, то в ней имеется некоторая формула, одним из возможных способов выражающая непротиворечивость PA и доказуемая в PA.

 

Однако современная наука, субъективно абсолютизируя результаты теорем Гёделя о неполноте, абсолютизирует как собственное знание, так и собственное незнание. Мнение научного истеблишмента, существующее в настоящее время, вполне согласуется по духу с известными догмами: «Любая фраза китайского языка является верным высказыванием, если она содержится в цитатнике товарища Мао Дзе Дуна, и неверна, если не содержится… Листай цитатник товарища Мао Дзе Дуна, пока не найдёшь искомое высказывание. Если оно найдено, то оно верно, а если цитатник закончился, а высказывание не найдено, то оно неверно». Наверное, такое в науке происходит потому, что часто забывается мысль Сократа: зная о своем незнании, я знаю больше, чем все остальные.

 

Тем не менее мы полагаем, что наука не должна апеллировать к недоказуемым утверждениям и, в частности, к неразрешимым в Гёделевом смысле предложениям. Одним из подобных произвольных допущений может быть, например, такое: мы бездоказательно утверждаем, что определенно очередная из неизвестных пока науке цифр в последовательности знаков числа π = 3,141… – это цифра 9.

 

Второй вопрос, который вполне актуален в теоретическом аспекте: имеет ли бесконечная информация смысл и объективизируема ли она?

 

В самом общем виде определим информацию по А. Д. Урсулу как разнообразие [2, с. 57–70]. Более узкое определение информации предлагается И. М. Гуревичем через устойчивые определенное время неоднородности произвольной физической системы. Этот же автор формулирует следующий важнейший принцип познания Вселенной, понимаемой им как наблюдаемая Метагалактика: Вселенная, объем информации в которой конечен, эффективно познаваема [см.: 3]. В связи с вышеизложенным вполне понятным становится то, что осмысление и объективизация бесконечной информации с точки зрения теории информации не представляется возможным.

 

Концептуальный подход к предлагаемому нами определению понятия «информация» обозначил А. Г. Дугин в вызвавшем огромный резонанс пленарном докладе на форуме «Дни Петербургской философии–2008»: «Информация – это знание, лишенное смысла. Информационный человек заменяет человека знающего. Чем большей информацией мы обладаем, тем меньше понимаем что-либо: сегодня человек-эрудит, специалист-справочник не знает ничего. Таковы реалии постмодерна, где человек познающий практически ликвидирован, то есть заменен на homo economicus. Другими словами, познание смыслов мутировало на капитализацию информации» [4]. Обобщая, мы можем заключить, что бесконечная информация для науки лишена смысла, ведь её определенно невозможно объективизировать.

 

Третий вопрос, который мы вправе задать: можно ли полагать, что знание – это осмысленная и объективизированная (персонально, либо коллективно), информация?

 

Можно согласиться с известным подходом к пониманию информации как интерпретации фактов, при этом знание понимается как персонализированная информация [см.: 5]. Однако мы полагаем, что знание и память могут быть не только индивидуальными, но и коллективными. При этом научное знание – это ещё инвариант и цель познания, которое в свою очередь логически допустимо только в случае существования объекта, на который оно, то есть познание, направлено. А. Ф. Лосев писал: «…как бы мы ни думали, что идее принадлежит лишь абстрактное существование, и как бы ни верили в то, что только материальное существование есть полная действительность той или другой идеи, мы все же с самого начала поставлены перед абсолютной необходимостью понять число в его идее, в его сущности, в его первоначальном смысловом содержании» [6, с. 4]. Эта мысль имеет прямое отношение к пониманию числа 3,141… Действительно: знание – это информация, которая приобрела для науки смысл.

 

Следующий вопрос: допустима ли потенциальная бесконечность только в случае существования актуально бесконечной области её становления?

 

Важно то, что натуральный ряд завершен актуально, не имея последнего элемента, при том, что этот ряд потенциально бесконечно расширяем нами в процессе его познания. Актуально бесконечное множество равномощно своей правильной части. Часть потенциально бесконечного множества не равномощна целому. Если мы будем рассматривать бесконечность в потенции и как процесс, например, как процесс подсчета множества возрастающих натуральных чисел 1, 2, 3, …, то вместе с каждым числом n мы можем взять большее (n+1). Если же мы рассматриваем множество всех натуральных чисел, взятых разом N = {1, 2, 3, …}, то тогда мы имеем актуальную бесконечность чисел, имеющую мощность счетного множества [см.: 7, с. 73–94].

 

При этом логически потенциальная бесконечность, как справедливо полагает В. Н. Катасонов, подразумевает некоторую «область становления», то есть некоторое непеременное и актуально бесконечное множество значений [см.: 8, с. 36]. Разумеется, что наши рассуждения неизбежно приводят нас к неограниченному (потенциально бесконечному) познанию актуально бесконечной последовательности знаков числа π = 3,141…

 

Согласимся с популяризатором науки А. В. Жуковым, который сравнивает постижение счетного множества знаков числа π «…с процессом бесконечного приближения к пределу. С каждым новым шагом мы всё ближе и ближе к заветной цели, однако, вожделенный предел по-прежнему продолжает оставаться от нас на расстоянии бесконечного количества шагов» [9, с. 2].

 

Как мы полагаем, в интересующем нас случае предел – это актуальная бесконечность знаков числа π, процесс постижения которых определенно потенциально бесконечен. При этом существование потенциальной бесконечности вне актуально бесконечной области её становления для науки не имеет смысла.

 

Заключительный вопрос: если информация, запечатленная на материальном носителе, теоретически доступна осмыслению и полной объективизации, то можно ли утверждать, что знание вне материального носителя – частично объективизируемо?

 

Определим познаваемую наукой Вселенную (Метагалактику) как универсальный материальный носитель информации. При этом сама Вселенная определенно бесконечна в пространстве и времени, в отличие от той конечной информации, которую мы в состоянии познать. Но что может существовать вне материального носителя? Например, вне материального носителя существуют законы природы, которые в сформулированном виде во Вселенной как феномены отсутствуют. Но зато они присутствуют как открываемые наукой ноумены, которые затем запечатлеваются людьми на информационном носителе. В связи с предлагаемым подходом приведем следующие из основополагающих предпосылок минимализма У. Хэтчера.

 

«1. Существенная (нетривиальная) часть человеческого знания может быть объективизирована.

2. Человеческое знание во всей полноте не может быть объективизировано (тотальная объективизация невозможна).

3. Все, что может быть объективизировано, должно быть объективизировано (объективизация имеет позитивное значение).

4. Граница между объективизируемым и не объективизируемым не может быть объективизирована (объективизация доказывается только путем выполнения объективизации).

5. Действительное человеческое знание, которое не поддается объективизации, не есть иррациональное, но транс-рациональное знание (то есть совместимое с тем знанием, которое было корректно, не по-редукционистски, объективизировано).

6. Объективизация – это, прежде всего, средство достижения ясности, и она не является целью сама по себе» [10, с. 11].

 

Таким образом, мы с уверенностью можем утверждать: знание вне материального носителя объективизируется, но объективизируется частично. В самом общем виде обосновав предпосылки к пониманию числа π = 3,141… мы можем перейти к его самой общей концепции.

 

2 Общая концепция числа π

Мы полагаем, что существует актуально бесконечное счетное множество знаков числа 3,141…, что отражает аксиома Лозовского. Приведем развернутые основания аксиомы Лозовского в следующей формулировке: потенциально бесконечное множество знаков периодической дроби имеет мощность конечного множества, а актуально бесконечное множество знаков непериодической дроби имеет мощность счетного множества. Аксиома названа в честь деда автора статьи, Максима Семеновича Лозовского, который, будучи инвалидом, ушел в ополчение и пропал без вести в 1942 году под Синявино. Самые важные основания этой аксиомы следующие.

 

В 1882 году фон Линдеман доказал – последняя цифра числа π не может быть найдена с помощью циркуля и линейки, что окончательно показывало то, что задача квадратуры круга неразрешима и никогда не будет найдено способа, чтобы получить точное значение числа π. Соответственно, невозможно получить точное значение любого другого иррационального числа, представляемого непериодической дробью.

 

Однако между двумя рациональными числами, представляемыми периодической дробью, в частности между числами 0,(9) и 1,(0) обязательно находится среднее арифметическое этих чисел, формально это число 0,9…[5], которое не учитывается при гипотетическом допущении актуальной бесконечности множества знаков периодической дроби.

 

В случае же потенциальной бесконечности множества знаков всякой непериодической дроби, включая число 3,141…, это число не было бы представлено единственной точкой на числовой прямой, что противоречит аксиоматике теории множеств. Ведь в этом случае непериодическая дробь имела бы переменное количественно и неопределенное качественно множество знаков, а, соответственно, не имела бы, условно выражаясь, «постоянного места» на числовой прямой.

 

К тому же в случае Дедекиндова сечения иррациональным числом оно разбивает актуально бесконечную числовую прямую на две части (без остатка в виде пробела или скачка), и, соответственно, само число, которое это сечение производит, не может не иметь в десятичном представлении актуально бесконечного множества знаков [см.: 11, с. 213–218].

 

Известно, что существует конечное множество известных и определенных (объективизированных) знаков числа 3,141… То, что отношение длины окружности к диаметру немногим более 3, было известно ещё древним геометрам, а древнейшие приближения к этому числу относятся к третьему тысячелетию до н. э. Архимед (287–212 гг. до н. э.) нашел три первых точных знака числа π = 3,14. Клавдий Птолемей (ок. 87–165 гг. н. э.) получает шесть знаков числа π = 3,14166. Вычисленные Уильямом Шенксом 707 десятичных знаков числа π были рекордом до середины ХХ века. В 1949 году Джон фон Нейман с коллегами вычислили 2037 знаков. В 2009 году Фабрис Беллар одолел отметку в 2,7 триллиона знаков этого числа. В настоящее время сообщается о более чем 31,4 триллионе известных и полностью объективизированных математиками знаков числа π.

 

Единственно, что можно достоверно предположить: познание этого числа будет всегда в будущем сопутствовать науке, а сколь угодно большое конкретное его значение будет всегда конечно в любой момент исторического времени.

 

Наш следующий тезис сводится к тому, что существует множество, состоящее из единственного вопроса: какая цифра числа π следующая за уже известными (объективизированными)?

 

Вопрос в науке существует от момента его возникновения до момента его исчезновения. Сумма ответов на предшествующие им вопросы составляет «скелет» науки. Под наукой в нашем контексте предлагается понимать точные науки: физику и математику. До того, как вопрос возникает, его не существует в науке. Например, для древнегреческой математики до V в. до н. э. не существовало вопроса о существовании иррациональных чисел. После того, как наука отвечает на тот или иной вопрос, он переходит в историю науки. Например, вопрос о том, существует ли теплород, присутствует только в истории науки, но не в сфере собственно современной физики. Пока ответ признается наукой, он, уточняясь, может сохраняться в ней потенциально бесконечно. Но не своевременно и непоследовательно поставленный вопрос не имеет смысла. Например, сегодня, когда наука знает примерно 31,4 триллиона знаков числа π, вопрос о конкретной цифре пятидесяти триллионного знака этого числа, очевидно, не имеет смысла.

 

Что касается философии, то для неё все вопросы и все ответы на них вполне можно рассматривать как «вечные», то есть существующие вне исторического контекста. Видимо, не случайно ведущие научные журналы России гордо именуются: «Успехи физических наук» и «Успехи математических наук», а ведущий российский философский журнал называется иначе: «Вопросы философии».

 

Известно, что по мере увеличения числа испытаний последовательность цифр числа 3,141… отклоняется от произвольно набранной последовательности.

 

Результат вычислительного эксперимента показывает следующее. Д. Андерсен разработал программу, которая занимается поиском среди первых 100 000 000 цифр числа π натурального числа, произвольно вводимого посетителем сайта. Вероятности нахождения такого числа приведены в таблице 1 [см.: 9, с. 72].

 

Таблица 1 – Результаты поиска произвольно вводимого числа

Количество цифр поискового числа	Доля успешных результатов поиска
1–5	100 %
6	близко к 100 %
7	99,995 %
8	63 %
9	9,5 %
10	0,995 %
11	0,09995 %

 

Известно, что существуют конечные алгоритмы по расчету отдельных знаков числа π, находящихся на определенных позициях, и, соответственно, это число не может представлять собой случайную последовательность знаков. Можно с определенностью утверждать также, что существует потенциально бесконечное множество знаков числа π, которые станут известны (будут объективизированы наукой) в будущем. Кстати, обратим внимание, что многие ученые вполне осознают тот факт, что количество рассчитанных цифр числа π считается одним из ключевых показателей развития цивилизации.

 

Далее рассмотрим интересный факт: в последовательности знаков числа π присутствуют частично объективизируемые числа, которые недостижимы с помощью математической индукции.

 

Л. Г. Антипенко, отмечая индуктивные свойства чисел, пишет: «Как известно, каждый математик, за исключением, быть может, ультраконструктивистов, признаёт существование (счётной) последовательности натуральных чисел, завершаемой бесконечным ординальным числом ω: 1, 2, 3, …, ω. Отсюда – принцип математической индукции, т. е. принцип порождения натуральных чисел и определения их (индуктивных) свойств» [12, с. 50]. В этой работе утверждается, что существуют натуральные числа со следующими неиндуктивными свойствами: ω, n, n-1, …, 1, 0.

 

Далее Л. Г. Антипенко обращается к логическому соответствию теоремы Гёделя о неполноте обозначенным неиндуктивным числам. Он пишет: «Таким образом выстраивается рекурсивная последовательность доказуемых формул и вместе с тем рекурсивная последовательность чисел, однозначно соответствующих доказуемым формулам. Формула G содержит в себе отрицание принадлежности к рекурсивной последовательности доказуемых формул, что исключает соответствующее ей число из представленного рекурсивного ряда чисел. Предъявив образец числа с неиндуктивными свойствами, Гёдель тем самым доказал существование неиндуктивных чисел» [12, с. 52].

 

Иначе выражаясь, Л. Г. Антипенко утверждает, ссылаясь, в частности, на гипотезу Н. Н. Лузина, что существуют числа недостижимые с помощью математической индукции и именно это доказывает теорема Гёделя о неполноте. Но и мы установили ранее, что множество знаков числа π не исчерпывается потенциально бесконечным множеством чисел, связанным с их полным познанием. Ведь всегда недостижимым для математической индукции останется актуально бесконечное множество знаков непериодической дроби 3,141…

 

Таким образом, неиндуктивная последовательность чисел – это последовательность натуральных чисел вида ω, n, n-1, …, 1, 0, которая включает в себя своеобразную «разность» между актуально бесконечным множеством натуральных чисел (N) и потенциально бесконечным множеством этих же чисел (n+1).

 

При этом числа, недостижимые с помощью математической индукции, мы в некоторой степени знаем: они частично объективизируемы. Ведь мы можем утверждать, что с 10 % вероятностью знаем значение любого члена из всей актуально бесконечной последовательности знаков числа π.

 

И, наконец, наш заключительный тезис: существует конечное множество равновероятных ответов (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) о значении любого члена из всей последовательности знаков числа π.

 

Мы покажем, что настоящий тезис основан на совпадении результата теоретико-множественного анализа с результатом вычислительного эксперимента. Имеющиеся в настоящее время данные вычислительного эксперимента свидетельствуют о том, что среди первых 200 000 000 000 десятичных знаков числа π (не считая целой части) все цифры встречаются примерно одинаково (таблица 2).

 

Таблица 2 – Частота встречи цифр

Цифра	сколько раз появляется
0	20 000 030 841
1	19 999 914 711
2	20 000 013 697
3	20 000 069 393
4	19 999 921 691
5	19 999 917 053
6	19 999 881 515
7	19 999 967 594
8	20 000 291 044
9	19 999 869 180

 

Как видно из таблицы 2, доля появлений каждой десятичной цифры примерно равна одной десятой (погрешность такого приближения не превышает 0,0015 %) [см.: 9, с. 71].

 

Один из ведущих математиков ХХ века Э. Борель был убежден в том, что вероятности обнаружения тех или иных цифр в последовательности знаков числа π связаны со свойством этого числа быть нормальным числом: «Мы называем десятичными вероятности появления той или иной цифры некоторого числа (целого или дробного), записанного в десятичной системе… нужно считать весьма вероятным, что все просто определяемые числа, за исключением чисел рациональных, нормальны… что число π есть нормальное число в десятичной системе» [13, с. 59–64]. Говорят, что иррациональное число является нормальным в десятичной системе счисления, если в его десятичном представлении цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 встречаются с одинаковой частотой. Однако известно, что среди математиков существует и противоположное мнение. Мнения разделились, как мы полагаем, в силу того, что математики часто не учитывают сущностного различия актуальной и потенциальной бесконечности, которое мы отметили несколько ранее.

 

Мы полагаем, что в силу актуальной бесконечности множества знаков числа π всякая правильная часть этого множества тождественна целому. Но множество цифр в десятичном представлении этого числа конечно: их всего десять. При этом подмножество знаков, выражаемых каждой из десяти цифр в числе π, должно быть также актуально бесконечным, так как представляет собой правильную часть всего актуально бесконечного множества знаков этого числа. Таким образом, теоретико-множественный анализ показывает: число π – определенно есть нормальное число. Ведь подмножество знаков каждой из цифр в актуально бесконечном множестве знаков этого числа находится во взаимно однозначном соответствии как с целым множеством, так и с каждым из остальных девяти подмножеств.

 

3 Отдаленные философские выводы из концепции числа π

Существует на материальном носителе:

– конечная информация (мозг и Метагалактика).

 

Существуют вне материального носителя:

– конечное знание о конечном (индивидуальная и коллективная память);

– конечное знание о бесконечном (актуальная бесконечность);

– бесконечное знание о бесконечном (абсолютная в Канторовом смысле бесконечность).

 

Познание в динамике представляет собой следующее:

– при переходе от носителя информации к человеческому знанию – информация приобретает смысл;

– при переходе от «знания о конечном» к «знанию о бесконечном» происходит смысловой переход к числам, недостижимым с помощью математической индукции;

– актуально существует «бесконечное знание о бесконечном», имеющее смысл «абсолютного предела всякого познания».

 

4 Принцип познания бесконечного

Известный американо-израильский физик М. Ливио пишет: «Вопреки распространённому заблуждению, теоремы о неполноте Гёделя не предполагают, что некоторые истины так и останутся навеки непознанными. Кроме того, из этих теорем не следует, что человеческие способности к познанию так или иначе ограниченны. Нет, теоремы всего лишь показывают слабости и недостатки формальных систем» [14, с. 280–291]. Однако теоремы Гёделя о неполноте, как уже отмечалось нами ранее, буквально потрясли ученое сообщество.

 

«Есть ли границы познания? Возможен ли конец науки?», спрашивает Д. Хорган и всей своей вызвавшей большой резонанс книгой отвечает положительно на этот вопрос: ведь о конце науки возвещают самые известные ученые мира [см.: 15]. Действительно, физики-теоретики «заметают под ковер» расходимости и устраняют эфир; интуиционисты и конструктивисты отрицают актуальную бесконечность, а инструменталисты не замечают апорий Зенона, связанных с движением. Всё это звенья одной цепи, вызванной страхом перед бесконечностью. Истиная философия может и должна противопоставить этим «внутри и околонаучным страхам» свою взвешенную позицию. Хоакин Наварро в заключение своей известной книги пишет: «Допустим, что некоторые утверждения о числе π связаны с бесконечностью – весьма тонкой областью, расположенной на переднем рубеже математики. Именно в этой области выводы Гёделя уже получили подтвеждение» [16, с. 130].

 

Мы предлагаем в качестве основной идеи, вокруг которой возможно объединение здоровых сил науки, следующий принцип: актуальная бесконечность потенциально бесконечно познаваема.

 

Литература

1. Бессонов А. В. К интерпретации теорем Гёделя о неполноте арифметики // Вестник Томского государственного университета. Философия. Социология. Политология. – № 4 (16). – 2011. – С. 177–189.

2. Урсул А. Д. Природа информации: философский очерк. 2-е изд. – Челябинск: ЧГАКИ, 2010. – 231 с.

3. Гуревич И. М. Физические законы и свойства природы как следствие законов информатики // Сервер LNFM1. Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова. – URL: http://lnfm1.sai.msu.ru/SETI/koi/articles/gurevich_2011-05-27.pdf (дата обращения 01.03.2021).

4. Дугин А. Г. Информация – это знание, лишённое смысла // Дугин ТВ. – URL: http://dugin.tv/content/informaciya-eto-znanie-lishyonnoe-smysla (дата обращения 01.03.2021).

5. Костромина С. Н., Гнедых Д. С. Информация и знание: подходы к пониманию процессов усвоения информации и формирования знаний в обучении // Вестник Ленинградского государственного университета им. А. С. Пушкина. – 2015. – Т. 5. – № 2. – С. 5–14.

6. Лосев А. Ф. Хаос и структура. – М.: Мысль, 1993. – 831 с.

7. Годарев-Лозовский М. Г. Возможная в будущем парадигма в основании точных наук // Credo New. – 2021 – № 1 (105). – URL: http://credo-new.ru/archives/2358 (дата обращения 01.03.2021).

8. Катасонов В. Н. Концепция актуальной бесконечности как место встречи богословия, философии и науки. Диссертация на соискание степени доктора богословия. – М., 2012. – 54 с.

9. Жуков А. В. Вездесущее число π. – М.: URSS, 2018. – 237 с.

10. Хэтчер У. Минимализм. – СПб.: Аксиос, 2003. –119 с.

11. Годарев-Лозовский М. Г. Метатеоретическая аксиома о различной мощности множества знаков периодической и непериодической дробей, её основные следствия // Материалы IV Российской конференции «Основания фундаментальной физики и математики», 11–12 декабря 2020 года. – М.: РУДН, 2020. – 245 с.

12. Антипенко Л. Г. О философско-мировоззренческом значении Гёделевых теорем неполноты // Философская школа. – 2020. – № 11. – С. 49–55. DOI: 1024411/2541–7673–2020–11105.

13. Борель Э. Вероятность и достоверность. – М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1961. – 119 с.

14. Ливио М. Был ли Бог математиком? – М.: АСТ, 2016. – 384 с.

15. Хорган Д. Конец науки: Взгляд на ограниченность знания на закате Века Науки / Пер. с англ. М. Жуковой. – СПб.: Амфора, 2001. – 479 с.

16. Наварро Х. Секреты числа π. Почему неразрешима задача квадратуры круга. – М.: Де Агостини, 2014. – 144 с.

 

References

1. Bessonov A. V. Toward an Interpretation of Godels Incompleteness Theorems [K interpretatsii teorem Gedelya o nepolnote arifmetiki]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Filosofiya. Sotsiologiya. Politologiya (Tomsk State University Journal of Philosophy, Sociology and Political Science), 2011, no. 4 (16), pp. 177–189.

2. Ursul A. D. Nature of Information: A Philosophical Essay [Priroda informatsii: filosofskiy ocherk]. Chelyabinsk: ChGAKI, 2010, 231 p.

3. Gurevich I. M. Physical Laws and Properties of Nature as a Combination of Computer Science Laws [Fizicheskie zakony i svoystva prirody kak sledstvie zakonov informatiki]. Available at: http://lnfm1.sai.msu.ru/SETI/koi/articles/gurevich_2011-05-27.pdf (accessed 01 March 2021).

4. Dugin A. G. Information is Knowledge without Sense [Informatsiya – eto znanie, lishennoe smysla]. Available at: http://dugin.tv/content/informaciya-eto-znanie-lishyonnoe-smysla (accessed 01 March 2021).

5. Kostromina S. N., Gnedykh D. S. Information and Knowledge: Approaches to Understanding Assimilation of Information and Knowledge Formation in Education [Informatsiya i znanie: podkhody k ponimaniyu protsessov usvoeniya informatsii i formirovaniya znaniy v obuchenii]. Vestnik Leningradskogo gosudarstvennogo universiteta im. A. S. Pushkina (The Bulletin of Leningrad State University named after Alexander Pushkin), 2015, vol. 5, no. 2, pp. 5–14.

6. Losev A. F. Chaos and Structure [Khaos i struktura]. Moscow: Mysl, 1993, 831 p.

7. Godarev-Lozovsky M. G. Possible Future Paradigm at the Heart of Exact Sciences [Vozmozhnaya v buduschem paradigma v osnovanii tochnykh nauk]. Credo New, 2021, no. 1 (105). Available at: http://credo-new.ru/archives/2358 (accessed 01 March 2021).

8. Katasonov V. N. A Concept of Actual Infinity as a Meeting Place for Theology, Philosophy and Science. Dissertation for the Degree of Doctor of Theology [Kontseptsiya aktualnoy beskonechnosti kak mesto vstrechi bogosloviya, filosofii i nauki. Dissertatsiya na soiskanie stepeni doktora bogosloviya], Moscow, 2012, 54 p.

9. Zhukov A. V. Ubiquitous Number π [Vezdesuschee chislo π]. Moscow: URSS, 2018, 237 p.

10. Hatcher W. Minimalism [Minimalizm]. St. Petersburg: Aksios, 2003, 119 p.

11. Godarev-Lozovsky M. G. Metatheoretic Axiom about the Different Cardinality of the Set of Signs of Periodic and Non-Periodic Fractions, Its Main Consequences [Metateoreticheskaya aksioma o razlichnoy moschnosti mnozhestva znakov periodicheskoy i neperiodicheskoy drobey, ee osnovnye sledstviya]. Materialy IV Rossiyskoy konferentsii “Osnovaniya fundamentalnoy fiziki i matematiki”, 11–12 dekabrya 2020 goda (Proceedings of the IV Russian Conference “Foundations of Fundamental Physics and Mathematics”, 11–12 December 2020), Moscow: RUDN, 2020, 245 p.

12. Antipenko L. G. On the Philosophical and Worldview Value of Gödel Incompleteness Theorems [O filosofsko-mirovozzrencheskom znachenii Gedelevykh teorem nepolnoty]. Filosofskaya shkola (PhilosophicalSchool), 2020, no. 11, pp. 49–55. DOI: 1024411/2541–7673–2020–11105.

13. Borel E. Probability and Reliability [Veroyatnost i dostovernost]. Moscow: Gosudarstvennoe izdatelstvo fiziko-matematicheskoy literatury, 1961, 119 p.

14. Livio M. Was God a Mathematician? [Byl li Bog matematikom?]. Moscow: AST, 2016, 384 p.

15. Horgan J. The End of Science: Facing the Limits of Knowledge in the Twilight of the Scientific Age [Konets nauki: Vzglyad na ogranichennost znaniya na zakate Veka Nauki]. St. Petersburg: Amfora, 2001, 479 p.

16. Navarro J. Secrets of the Number π. Why the Problem of Quadrature of a Circle Is Unsolvable [Sekrety chisla π. Pochemu nerazreshima zadacha kvadratury kruga]. Moscow: De Agostini, 2014, 144 p.

 
Ссылка на статью:
Годарев-Лозовский М. Г. Числовая модель познания бесконечного // Философия и гуманитарные науки в информационном обществе. – 2021. – № 1. – С. 31–43. URL: http://fikio.ru/?p=4318.
 

© М. Г. Годарев-Лозовский, 2021