УДК 168

 

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ по проекту № 19–011–00398 «Второй позитивизм в России: философская проблематика, влияние, критика».

 

Караваев Эдуард Федорович – федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Санкт-Петербургский государственный университет», Институт философии, профессор кафедры логики, доктор философских наук, профессор, Санкт Петербург, Россия.

Email: EK1549@ek1549.spb.edu

199034 Санкт–Петербург, Менделеевская линия д.5,

тел.: + 7(812)328–94–21, доб. 1844.

 

Авторское резюме

Задача исследования: В работах Николая Александровича Шанина (1919–2011) современная символическая логика представлена в качестве основы информационного моделирования. Ориентация на разработку этого современного метода познания и практики фактически характеризует как содержание его научных работ в области топологии, конструктивной математики, поиска естественного вывода, построения финитарной концепции математического анализа, так и его преподавательскую деятельность на философском факультете СПбГУ.

Состояние вопроса: Информационное моделирование – это прохождение компьютерной программы. Для составления программы требуется описать задачу на «естественном» языке соответствующей научной дисциплины. Далее делается перевод на специальный формализованный язык. То, насколько удачно, – с точки зрения собственно представления содержания задачи и возможностей инструментов программирования, – подобран этот язык, существенно влияет на результат. В работах Н. А. Шанина детально представлен подход к информационному моделированию с позиций конструктивного направления в математике. Его исследования начались с попыток расширить границы общей части классической и конструктивной математики. Было известно, что доказательства традиционной математики переходят в доказательства конструктивной математики при так называемом «негативном переводе», т. е. при добавлении двойного отрицания перед знаками существования ┐┐Ǝ и дизъюнкции V. Шанину удалось осуществить обобщение теоремы Гёделя – Колмогорова о погружении классической арифметики в конструктивную. Он построил алгорифм выявления конструктивной задачи, который образует основу формулировки конструктивной семантики.

Результаты: Убедительным подкреплением концепции Шанина явился АЛПЕВ (Алгорифм Поиска Естественного Вывода), разработанный в начале 1960–х гг. в ЛОМИ группой математической логики, руководителем которой он оставался до своего ухода из жизни. Алгорифм обеспечивает «достаточно хороший» и «естественный» вывод (данного утверждения из данных аксиом). АЛПЕВ был запрограммирован, и эта программа до сих пор остается одной из лучших в своей области.

Выводы: Собственно научная работа Н. А. Шанина, его статьи и доклады на конференциях, а также его преподавательская деятельность способствовали подготовке будущих специалистов в области информационного моделирования.

 

Ключевые слова: символическая логика; информационное моделирование; конструктивизм; алгорифм.

 

Modern Symbolic Logic as the Fundamental Basis of Information Modeling (On the Centenary of the Birth of Nikolai Alexandrovich Shanin)

 

The study was carried out with financial support from the Russian Federal Property Fund for the project No. 19–011–00398 “Second positivism in Russia: philosophical problems, influence, criticism”.

 

Karavaev Eduard Fedorovich – Saint Petersburg State University, Institute of Philosophy, Professor, Department of Logic, Doctor of Philosophy, Professor, Saint Petersburg, Russia.

Email: EK1549@ek1549.spb.edu

5, Mendeleev Line, Saint Petersburg, 199034, Russia,

tel.: + 7 (812) 328–94–21, ext. 1844.

Abstract

Aim: In the works of Nikolai Alexandrovich Shanin (1919–2011), modern symbolic logic is presented as the basis for information modeling. The orientation toward the development of this modern method of cognition and practice, in fact, characterizes both the content of his scientific papers in the field of topology, constructive mathematics, finding the natural conclusion, formulating finitary concepts of mathematical analysis, and his teaching activities at the Faculty of Philosophy of St. Petersburg State University.

Background: Information modeling is the passage of the computer program. To write the program, it is necessary to describe the problem in the “natural” language of the relevant scientific discipline. Then a translation into a special formalized language is made. How well this language is selected, from the point of view of the actual presentation of the content of the task and the capabilities of the programming tools, significantly affects the result. N. A. Shanin’s works presented in detail the approach to information modeling from the standpoint of the constructive direction in mathematics. His research began with attempts to extend the boundaries of the common part of classical and constructive mathematics. The proofs of traditional mathematics were known to turn into the proofs of constructive mathematics through the so-called “negative translation”, i.e. by adding a double negation before the signs of existence ┐┐Ǝ and disjunction V. Shanin was able to generalize the Gödel – Kolmogorov theorem on immersion of classical arithmetic in constructive one. He built an algorithm for identifying a constructive problem, which forms the basis of the formulation of constructive semantics.

Results: A convincing reinforcement of Shanin’s concept was ALFNC (Algorithm for Finding a Natural Conclusion), developed in the early 1960s in LDIM (Leningrad department of Institute of Mathematics ) by a group of mathematical logic, the head of which he remained until his death. The algorithm provides a “good enough” and “natural” conclusion (of the statement from the given axioms). ALFNC was programmed, and this program remains one of the best in this field.

Conclusion: N. A. Shanin’s research, his articles and reports at conferences, as well as his teaching activities contributed to the training of future specialists in the field of information modeling.

 

Keywords: symbolic logic; information modeling; constructivism; algorithm.

 

Введение

25 мая 2019 г. исполнилось 100 лет со дня рождения Николая Александровича Шанина, выдающегося отечественного математика и логика, широко известного своими работами в области топологии, конструктивной математики, поиска естественного вывода, построения финитарной концепции математического анализа. Этот юбилей широкое математическое сообщество отметило Международной конференцией (Санкт–Петербург, 23–26 мая 2019 г.) [см.: 14].

 

Были сделаны доклады и выступления ученых из восьми стран; в их числе: Великобритания (2 человека), Германия (1), Италия (1), Нидерланды (1), Россия (6 – Москва, Новосибирск, Санкт–Петербург), Румыния (1), США (5), Франция (6), Южная Африка (1). Многие из участников являются учениками Шанина. Были обсуждены темы, развивающие различные стороны его богатейшего наследия. Вполне очевидно, что обзор содержания названной конференции – отдельная задача.

 

Цель данной статьи – показать, как в работах Шанина современная символическая логика представлена в качестве основы информационного моделирования[1]. Ориентация на разработку этого современного метода познания и практики характеризует, фактически, содержание его многих научных работ в области топологии, конструктивной математики, поиска естественного вывода, построения финитарной концепции математического анализа, его книг, статей и докладов на конференциях. Эта же ориентация присуща и его многолетней преподавательской деятельности на Философском факультете СПбГУ [см.: 13].

 

Информационное моделирование состоит в прохождении компьютерной программы, которая воплощает в себе «автоматизированный мысленный эксперимент» [2]. Формулировка «мысленный эксперимент» есть и у Шанина; см., например, упоминание мысленных экспериментов над наглядно представленными объектами в его работе «Понятия и логические средства конструктивной математики как средства теоретических моделей информационного типа» [9, с. 3].

 

Для составления программы требуется описать задачу на «естественном» языке соответствующей научной дисциплины. Далее делается перевод на специальный формализованный язык. То, насколько удачно – с точки зрения собственно представления содержания задачи, имеющихся в наличии компьютеров, инструментов программирования – подобран этот язык, существенно влияет на результат [см.: 4; 6].

 

От интуиционизма – к конструктивизму

В работах Н. А. Шанина детально представлен подход к информационному моделированию с позиций конструктивного направления в математике [см.: 3].

 

Еще в конце 1940–х гг. Шанин под влиянием Андрея Андреевича Маркова познакомился с основными идеями интуиционистского подхода к основаниям математики и пришел к необходимости переосмысления многих результатов «классической» математики, перехода к новой системе понятий и рассуждений. Стоит отметить, что это переосмысление находилось в конфликте с его собственным предшествующим математическим опытом и содержанием его собственных топологических и теоретико-множественных работ.

 

Уже в рамках традиционной математики проводилось различие между «чистыми» теоремами существования и «эффективными» способами построения искомых объектов. Такого рода различие между «эффективным» существованием Ǝх (читается «осуществимо x») и «неэффективным» существованием ┐┐Ǝх («не может не существовать х») нашло отражение в формальных системах интуиционистского (конструктивного) исчисления предикатов и интуиционистской (конструктивной) арифметики. В этих же формальных системах проводилось различие между «эффективной» и «неэффективной» дизъюнкциями. Однако эти системы, давая возможность изучать свойства «эффективных» существования и дизъюнкции на формальном уровне, не давали достаточно удовлетворительной семантики этих понятий.

 

Первыми работами, в которых анализировалось отношение классических (традиционных) систем и интуиционистских систем, были работы К. Гёделя и А. Н. Колмогорова. Они опирались на идею погружающей операции, состоящей в отображении, которое ставит в соответствие суждению А новое суждение А’ близкой синтаксической структуры так, что А’ выводимо в интуиционистской системе тогда и только тогда, когда А выводимо в соответствующей классической системе.

 

Исследования Шанина по основаниям математики, нацеленные – как это оказалось, в конце концов – на приближение ее к потребностям информационного моделирования, начались с попыток расширить границы общей части классической и конструктивной математики. Ко времени его первых работ в этом направлении было известно, что доказательства традиционной математики переходят в доказательства конструктивной математики при так называемом «негативном переводе», т. е. при добавлении двойного отрицания ┐┐ перед знаками существования Ǝ и дизъюнкции V. При таком переводе, очевидно, сохраняются лишь те арифметические теоремы, которые не содержат ни Ǝ, ни V. Шанин построил серию более тонких погружающих операций и сумел указать классы теорем, содержащих Ǝ и V, которые переносятся в конструктивную математику без изменений. Эти результаты явились серьёзным обобщением теоремы Гёделя – Колмогорова о погружении классической арифметики в конструктивную [7–9].

 

Раньше интуиционисты обосновывали применяемую ими логику малопонятными «философскими» соображениями. Первая математически ясная интерпретация конструктивных существования и дизъюнкции – реализуемость, по С. К. Клини – основывалась на понятии алгорифма.

 

Суждение «для каждого х существует у, такой что А(х, у)» (символически, ∀хƎуА(х,у)) по Клини понимается как наличие алгорифма, строящего у по х. Если же (для произвольного х) всего лишь получено противоречие при допущении, что у не существует, то считается обоснованным только суждение ∀х┐┐ƎуА(х, у).Однако интерпретация Клини сводила вопрос об истинности данной формулы к рассмотрению таких формул, логическая структура которых в некотором отношении была не проще структуры исходной формулы.

 

Развивая свои идеи в области конструктивной семантики, Шанин построил алгорифм выявления конструктивной задачи, который образовал основу одной из самых распространенных формулировок конструктивной семантики. Его алгорифм перерабатывает суждение А в эквивалентное ему при конструктивном понимании суждение А’ вида Ǝх₁. . . x_kN, где N не содержит связок Ǝ и V, с которыми как раз и связана в конструктивной математике задача построения объектов. Следовательно, заключенная в А конструктивная задача сводится к построению объектов х₁, . . ., x_k и обоснованию суждения N, которое само уже не содержит конструктивной задачи. В силу результатов о погружении, для обоснования N в рамках конструктивной математики достаточно доказать его в классической арифметике.

 

Подчеркнем, что многие процессы в человеческой деятельности допускают «практически приемлемое» моделирование посредством подходящих конструктивных и вполне финитарных ситуаций (или более сложных ситуаций, но не апеллирующих к тому или иному варианту представлений о «бесконечности» [см.: 9; 10]).

 

На основе разработанных принципов конструктивного понимания суждений Шанин приступил к проведению программы конструктивизации математики, в первую очередь, – математического и функционального анализа. Одной из целей конструктивизации была разработка системы понятий и аппарата, пригодных для постановок задач, связанных с вопросами вычислимости в анализе. Соответствующая программа работ была намечена в выступлении Шанина на III Всесоюзном математическом съезде в 1956 г. И это, опять-таки, продвигало развитие символической логики «в пользу потребностей» информационного моделирования.

 

При проведении в жизнь названной программы очень важным (а иногда – решающим) оказывается правильный выбор конструктивных аналогов основных понятий анализа – таких, как вещественное число, непрерывная функция и т. д. Однако непосредственная, «пословная», конструктивная переформулировка классических определений может привести к неработоспособным понятиям. Шанин заметил, что большинство работающих конструктивных понятий можно определить на основе подходящим образом выбранных пополнений метрических пространств. В качестве исходного пополняемого пространства берется некоторое простое множество конструктивных объектов, например, рациональные числа, кусочно-постоянные функции и т. п.

 

О единстве научной и преподавательской работы Н. А. Шанина в подготовке информационного моделирования

Адекватное представление о подходе Шанина к подготовке средств информационного моделирования дает, на наш взгляд, его концепция (или, если угодно, «парадигма») преподавания символической логики на философском факультете СПбГУ в период с осеннего семестра 1991/1992 учебного года по весенний семестр 1999/2000 учебного года.

 

На конференции «Методологические и методические проблемы математического образования», которая была проведена в рамках философского (методологического) семинара ЛОМИ 12 февраля 1981 г. [см.: 4, с. 16], Шанин, касаясь издержек формализма в преподавании, зачитал цитату из книги В. А. Успенского «Машина Поста»: «Вообще способность воспринимать какую-либо систему понятий или какое-либо построение до (и независимо от) получения информации о том, зачем это нужно, т. е. до (и независимо от) каких бы то ни было приложений, представляется нам одним из важнейших качеств, воспитываемых занятиями математикой.

 

Представление о цели, которую преследует изложение того или иного материала, способствует, возможно, его запоминанию, но не должно влиять на понимание, которое может и должно иметь место независимо от этой цели. Умение мыслить формально – это особое умение, развивающееся, как и всякое умение, в результате тренировки. Такая тренировка могла бы начинаться с ранних лет, доступна для первоклассника. Элементами такой тренировки могут служить и сложение многозначных чисел (при том, что многозначные числа понимают без особой семантики, просто как цепочки цифр, а сумма определяется посредством алгоритма сложения столбиком) и простейшие упражнения с машиной Поста» [5, с. 19].

 

Шанин расценил эту точку зрения как недопустимый в преподавании формализм и (даже) обвинил А. А. Иванова в ее пропаганде (введение в курс математики актуальных бесконечно малых дает некоторые методические удобства, но в техническом вузе неизбежно формальное их понимание).

 

На второй конференции «Методологические и методические проблемы математического образования», которая состоялась 3–4 февраля 1983 г., Шанин в своём выступлении поднял ряд серьезных теоретических вопросов относительно оснований математики, понятия математического объекта, строгости математических рассуждений.

 

Приводим опубликованный текст его выступления.

 

«Бурбаки – это очень плохо. Великая математика создавалась без теории множеств, без понятия множества. Встает вопрос, на какой основе эта математика создавалась. Это можно понять из цитаты Бурбаков по истории математики.

 

В рамках классической математики, очевидно, правомочно говорить, что точка принадлежит прямой линии, но делать отсюда вывод о том, что прямая «составлена из точек», нельзя без нарушения табу на актуальную бесконечность, и Аристотель пускается в длинные рассуждения, чтобы определить этот запрет. В XIX в., очевидно, для того чтобы пресечь все возражения этого рода, многие математики избегают говорить о множествах и систематично рассуждают “по содержанию”. Так, например, Галуа говорит не о числовых полях, но только о свойствах, общих всем элементам этого поля. <…> (Пеано – единственный математик, который свободно употребляет язык теории множеств в элементарной геометрии.)^* Когда Больцано в 1817 году доказывает существование нижней грани множества, ограниченного снизу в R, он еще рассуждает “по содержанию”, как и большинство его современников, говоря не о произвольном множестве действительных чисел, а о произвольном свойстве этих последних» [1, с. 38–39; отмеченную звёздочкой^* фразу Шанин опускает].

 

«Люди в повседневной жизни научились выделять типы объектов. Эти типы объектов люди научились выделять с помощью некоторой деятельности. В чем главная беда Бурбаков? Их концепция маскирует, даже дезавуирует основные механизмы, с помощью которых математика отражает реальный мир. Не понятие множества – главное в математике, без этого понятия математика может легко обойтись, а понятие типа объекта. Натуральное число – это, например, объект, с которым можно определенным образом действовать, строя другие объекты, причем, совсем не обязательно мыслить все построения собранными вместе.

 

Но понятие функции – это действительно вещь фундаментальная. У Бурбаки функция – это множество упорядоченных пар. Такой подход начисто отбрасывает способ, с которым люди реально приходят к функциям и функциями пользуются. В действительности имена функций – это имена типов действий. Понятие функции не сводимо к понятию множества – на этом пути мы приходим в тупик, так как множество пар, в свою очередь, определяется функцией, сопоставляющей одним парам «истинно», а другим – «ложно», и возникает порочный круг. На самом деле приходится иметь понятие функции, вводимое независимо от множества пар. Но даже в том случае, когда мы сможем рассматривать ту или иную функцию как множество пар, все равно, мы лишаемся возможности понимать тот механизм, с помощью которого математика отражает реальный мир через деятельность.

 

Изложение математики надо начинать с объяснения того, что имеются различные индивидуальные объекты и типы объектов. Мы их включаем в некоторый механизм деятельности, и на этой почве возникает понятие функции как вида деятельности и т. д. Так надо организовывать основы процесса обучения математике. Если мы будем функции так определять, то мы не утратим связи с тем, что реально происходит. Когда человек все это уже прошел, то ему можно сказать, что функция есть «на самом деле» множество пар, – для краткости…

 

Это – иллюзия, что математика есть нечто очень точное. В реальной жизни мы действуем не в рамках абсолютной точности, а в рамках практической достаточности. Более того, трудности оснований математики лежат не в теории множеств, а гораздо раньше. Рассмотрим утверждение ∀n(f(n) = 0), где f – очень простая алгоритмически заданная функция, примитивно рекурсивная. Какой смысл имеет это утверждение? Конечно, это не факт реальной действительности, ибо в реальной действительности мы встречаемся лишь с конечными наборами натуральных чисел. Может быть, это следует понимать так, что мы в состоянии предъявить некоторое рассуждение, которое экстраполирует наши представления, выработанные в конечных областях? Попробуем эти представления сформулировать в некоторой аксиоматической системе. Допустим, что для данной функции f наше утверждение можно доказать методом обычной индукции. Тогда можно указать f’, для которой простая индукция не пройдет, но пройдет более сложная индукция. Но тогда можно предъявить f», для которой и эта более сложная индукция не пройдет и т. д. Объяснить до конца, что утверждение ∀n(f(n) = 0) означает, невозможно. Уже здесь лежат трудности основания математики, а вовсе не в теории множеств. Там вообще горы идеализации, горы фантастики. Но математики такие вещи доказывают. На самом деле они не претендуют на исчерпывающее определение истинности подобного тождества, останавливаясь на практически достаточном этапе. Пусть допускается только обычная индукция в качестве условия истинности тождества. Оно явно не исчерпывает все ситуации – это доказал Гёдель, но в реальных ситуациях практически достаточно. Нам нет необходимости во всеобъемлющем понятии функции, достаточно демонстрировать разного рода примеры» [4, с. 19–26].

 

Третья конференция «Методологические и методические проблемы математического образования» состоялась 4–5 февраля 1985 г. Все доклады сопровождались оживленной дискуссией. Приведем выступления Шанина в изложении А. А. Иванова и А. И. Скопина.

 

«Так, Н. А. Шанин высказал мысль о возможной целесообразности объединения курсов математического анализа и механики (так поступал, например, И. Ньютон). Такое изложение математики, по его мнению, могло бы заинтересовать учащихся.

 

С другой стороны, Н. А. Шанин высказал возражение против термина “переменная величина” в обычном его употреблении, отмечая, что введение понятия “переменная” означает переход к новому уровню абстракции, что этот переход означает переход от “средней” математики к “высшей”, и идейную важность этого перехода необходимо подчеркивать. Именно здесь и начинается дифференциальное и интегральное исчисление.

 

По поводу другого доклада, Н. А. Шанин остановился еще на одном методологическом вопросе общего характера. В математике, заметил он, наслаивается целая иерархия различных идеализаций. Необходимо, по его мнению, так перестроить изложение математики, чтобы остались только практически используемые идеализации. Так вместо функций, понимаемых в смысле Дирихле, надо рассматривать функции в смысле Эйлера. Более точно, нет даже необходимости рассматривать множество всех вещественных чисел и т. д.» [4, с. 28–29].

 

Далее приводятся отрывки из текстов двух докладов Шанина на конференциях по логике, проходивших на философском факультете. Из их содержания можно полнее увидеть направленность изучения символической логики в сторону информационного моделирования.

 

Эта направленность непосредственно представлена в названии первого из них: «Понятия и логические средства конструктивной математики как средства теоретических моделей информационного типа» [9].

 

«1. В настоящее время в среде математиков преобладает мнение, что теория множеств в ее современном виде обеспечивает формирование вполне удовлетворительной логико-понятийной базы разнообразных областей математики, в частности, математического анализа (МА).

 

С другой стороны, эта логико-понятийная база МА и теория множеств в целом уже давно оказались объектами критического анализа, в котором принимали участие (в конце XIX столетия и в XX столетии) многие выдающиеся математики. По существу, это был анализ идеализаций, участвующих в формировании “интуитивной основы” теории множеств, с точки зрения “уровня их согласованности” с результатами экспериментального исследования природы на макро- и мегауровнях детализации и “охвата” в пространстве – времени. Такой анализ привел некоторых математиков к следующей точке зрения:

Использование абстракции завершенной бесконечности и “надстроек” над ней представляет собой чрезмерный произвол воображения, и это обстоятельство побуждает к поискам альтернативных вариантов МА (и других областей математики), не использующих “чрезмерных” идеализаций.

 

Такие поиски стимулировали, в частности, формирование конструктивного направления в математике. С течением времени стало ясно, что для формирования конструктивного направления в математике имеются и стимулы, идущие непосредственно из приложений математики. В приложениях математики типичны такие задачи, в которых как исходные данные, так и искомые решения представляют собой “конкретные информации” о некоторых объектах (в широком смысле этого слова) или о связях между ними. Здесь имеются в виду “информации”, имеющие форму дискретных знакосочетаний, составляемых тем или иным отчетливо охарактеризованным способом из букв заданного алфавита. В случае варьируемых исходных данных (и решений), имеющих этот характер, обычно ставится задача о построении алгорифма, перерабатывающего исходные данные в исходные решения.

 

При рассмотрении задач такого рода во многих случаях применяются теоретические модели, формируемые из того строительного материала, который предоставляет традиционный МА. А последний систематически использует абстрактные представления теории множеств – представления, часто весьма отдаленные от “конкретных информаций”. Интуитивно ощущаемая необязательность “далеко идущих” идеализаций теории множеств при рассмотрении упомянутых выше задач побуждает к поискам “чисто информационных” моделей рассматриваемых фрагментов “мира экспериментальных данных”. Здесь имеются в виду теоретические модели, в которых подразумеваемые объекты (реальные или воображаемые) и связи между ними индивидуально представлены с удовлетворяющей нас детальностью и точностью посредством “конкретных информаций” (последние рассматриваются “на фоне” некоторого отношения равенства, выражающего их взаимозависимость с определенной точки зрения). При этом предпочтительны такие модели, в которых “конкретные информации” рассматриваются именно как знаковые конструкции с достаточным этой их особенности без таких идеализаций, использования которых мы в состоянии избежать, а также без “окружения” их какими–либо “идеальными объектами”, не имеющими индивидуальных определений посредством знаковых конструкций. Практические соображения такого рода также стимулировали развитие конструктивного направления в математике.

 

2. Конкретные теории, принадлежащие конструктивному направлению в математике, объединяет то, что объекты (всех типов), о которых идет речь в этих теориях, являются конструктивно определяемыми объектами. Однако существуют значительные (даже принципиальные) различия между некоторыми теориями в “уровне требований” к семантической отчетливости (к разъясненности смысла) формулируемых суждений и определений.

 

В процессе формирования и разработки (на интуитивном уровне) конкретных областей математики обычно используются те или иные экстраполяции представлений, связанных с термином “истинное суждение” в повседневной жизни и в экспериментальных науках. В математических и логических теориях, предполагающих конечность предметной области, такая экстраполяция имеет достаточно отчетливый характер; по существу, она представляет собой уточнение “бытовых” представлений применительно к ситуациям определенного типа. Переход к теориям с “произвольными” множествами объектов, осуществляемый на основе абстракции завершенной бесконечности, сопровождается экстраполяцией, имеющей характер весьма произвольного “фантазирования” и радикального отрыва от “мира экспериментальных данных”.

 

3. Промежуточный характер имеет переход к теориям с конструктивно определяемыми объектами. С одной стороны, здесь объекты суждений характеризуются и воспроизводятся как “почти физические” объекты. С другой стороны, все объекты теории, вообще говоря, не могут быть порождены или “просмотрены” за конечное число дискретных шагов, и даже суждения вида “процесс применения (заданного) алгорифма F к любому натуральному числу X заканчивается” и вида “любое натуральное число X удовлетворяет (заданному) алгорифму F и проверяемому условию C” не поддаются истолкованию в качестве утверждений о каких-то феноменах в “мире экспериментальных данных”.

 

Для таких суждений в качестве обоснований предлагаются некоторые “теоретические рассмотрения”, направленные на то, чтобы обнаружить обстоятельства, в силу которых всякий раз, когда окажется построенным некоторое натуральное число N, окажется “истинным” (в “естественном” смысле) тот частный случай рассматриваемого обобщающего суждения, который получается при замещении переменной X числом N.

 

“Диапазон типов”, фактически используемых для этой цели теоретических рассмотрений, весьма значителен: от “очерченных” в общих чертах Д. Гильбертом “финитарных” рассмотрений, имеющих характер “мысленных экспериментов над наглядно представленными объектами”, до рассуждений с использованием “принципа конструктивного подбора” А. А. Маркова (для суждений первого вида) и иных трудно поддающихся обоснованиям и потому дискуссионных видов умозаключений (например, трансфинитной индукции при упорядочении натуральных чисел по типу того или иного конструктивного, но “большого” ординала).

 

Для предложенной Д. Гильбертом “финитарной установки” характерны весьма “жесткие” требования к “наглядности” разъяснения используемой (при рассмотрении конструктивно определенных объектов) экстраполяции представлений об истинных суждениях – представлений, ведущих свое происхождение из теорий с конечными предметными областями. Требования этого рода характерны для той части конструктивной математики, которая называется финитарной математикой. Однако после выдающихся работ К. Гёделя и Г. Генцена было осознано, что даже для суждений упомянутых выше двух видов невозможно предложить какое–то “полное и окончательное” уточнение интуитивно приемлемых видов экстраполяции – граница интуитивно приемлемых видов “размыта”.

 

Поэтому, стремясь к семантической отчетливости теоретических моделей информационного типа, мы вынуждены иметь в виду не некую единую “точно” очерченную финитарную математику, а иерархию “частных финитарных математик”, в которой трудности обоснования “семантической приемлемости” ее ступеней нарастают при удалении от начальных ступеней иерархии. Структура каждой ступени такова, что каждый раз используется некоторый бескванторный язык (или язык, переводимый в бескванторный посредством точно формулируемых синтаксических правил перевода), построенный над некоторым разрешимым классом тотальных алгорифмов, тотальность которых обосновывается на основе специфичных для упомянутых выше видов, а допустимые способы умозаключений обосновываются на основе специфичных для данной ступени представлений об истинных суждениях второго вида.

 

“Частные финитарные математики”, находящиеся на начальных ступенях упомянутой иерархии, предоставляют привлекательный “строительный материал” для теоретических моделей разнообразных фрагментов “мира экспериментальных данных”. Оказывается, что во многих ситуациях такого рода модели способны конкурировать с моделями, использующими (например) традиционный математический анализ, предоставляя при этом существенные, с точки зрения приложений, дополнительные возможности. Ввиду этого, заслуживает внимания вопрос о принципах и конкретных способах построения финитарных вариантов базисных частей математического анализа, а также иных областей математики.

 

4. Уже давно разрабатываются математические теории, имеющие своими объектами изучения только конструктивно определяемые объекты, но использующие значительно более “богатые” языки, чем те, которые используются в финитарных математических теориях. Экстраполяция упомянутых выше представлений об истинных суждениях на суждения, фигурирующие в таких языках, представляет собой, вообще говоря, весьма “тяжелую” и, по мнению автора, неблагодарную задачу. “Хорошая” экстраполяция не получается, и это умаляет роль таких теорий как средств теоретического моделирования реальных ситуаций. Однако обширный материал в области построения конструктивных (в широком смысле) вариантов различных математических теорий, накопленный в работах по традиционной (в современной терминологии) конструктивной математике, играет существенную роль при разработке финитарных вариантов».

 

Фундаментальная роль процедурного подхода к разъяснению смысла суждений

Второй доклад «Эскиз финитарного варианта математического анализа» [11] также имеет четко выраженную практическую, конструктивную, в широком смысле слова, направленность в сторону информационного моделирования; в нём дополняются и развиваются положения предыдущего доклада.

 

«1. В процессе “стихийного” овладения конкретным человеком тем или иным естественным (“разговорным”) языком на интуитивном уровне формируются, в частности, какие-то представления об “осмысленных” языковых конструкциях и о “смысле” таких конструкций. Инициатором экспликации интуитивных представлений этого рода был Г. Фреге. Он приводит разнообразные примеры языковых выражений, для которых “интуитивно определимы” (в принципе) их значения, и констатирует некоторые трудности в проблеме экспликации, возникающие при рассмотрении того или иного естественного языка “в целом”.

 

Предложенные Фреге формулировки на эту тему являлись и являются объектами дискуссий. Этот доклад посвящен обсуждению проблемы с точки зрения выработанных в физике и других областях естествознания представлений о базисной роли процедурных (операциональных) разъяснений понятий, отношений и суждений.

 

2. Ввиду чрезвычайного разнообразия ситуаций и целей, применительно к которым люди используют естественные (а также целенаправленно “изобретенные”) языки, и ввиду разнохарактерности трудностей, обнаруживающихся при поисках желаемых уточнений для естественного языка, рассматриваемого “в целом” (в частности, для таких фрагментов языка, в которых происходит апеллирование к “далеко идущим” идеализациям), целесообразно при рассмотрении проблемы разъяснения языковых конструкций упомянутого рода выделить ситуации некоторых “простых” типов – ситуации, при которых эта проблема перестает быть “необъятной” и допускает достаточно отчетливые экспликации, создающие некоторую базу для рассмотрения той же проблемы во все более и более сложных ситуациях.

 

Однако даже для ситуаций “весьма простых” типов (а ниже только о них будет идти речь) формулирование достаточно отчетливых разъяснений связано с выбором некоторых базисных представлений принципиального характера…

 

3. Фундаментальное продвижением в проблеме, о которой здесь идет речь, было подготовлено изобретением в конце ХIХ и начале ХХ столетий для “сравнительно обширных” фрагментов естественных языков таких моделей, которые, абстрагируясь от весьма многих черт естественных языков и представляя собой “искусственные” языки с отчетливо определенными и сравнительно простыми синтаксисами, делали вполне обозримыми “смысловые аспекты” языковых конструкций (особенно при использовании деревьев синтаксического разбора). Здесь в первую очередь имеются в виду логико-предметные языки типа языка исчисления предикатов 1-й ступени (вообще говоря, с предметными константами и предметными переменными нескольких родов и с константами как для конкретных предикатов, так и для конкретных предметных функций).

 

Ограничимся рассмотрением именно таких “модельных” языков. Для них интуитивные представления об “осмысленных” языковых выражениях в современной логической литературе эксплицируются посредством понятий предметный термы, замкнутый предметный терм, формула и замкнутая формула (суждение). Для случаев этого типа и в предположении, что для предметных переменных каждого рода в каком-то смысле “задана” область их допустимых значений, и все предикатные (функциональные) константы обозначают конкретные предикаты (предметные функции), в каком-то смысле “заданные” при всех наборах индивидуальных констант, предусмотренных типами рассматриваемых предикатов (предметных функций), концепция, предложенная Фреге, конкретизируется следующим образом: каждый замкнутый предметный терм предлагается рассматривать как составное (вообще говоря) имя того объекта, который является значением данного терма (и представляет собой константу определенного рода), а любое суждение – как составное имя одной из двух булевых констант И, Л, играющих роль сокращенных записей специфических “сигнальных слов” истина, ложь (или, в “бытовом” варианте, – роль обозначений слов да, нет). При этом под смыслом рассматриваемой языковой конструкции Фреге предлагает понимать то, что отражает способ представления объекта, обозначаемого данным знаком.

 

Однако восприятие процессов формулирования (и обоснования) законов природы или “интересных по содержанию” математических теорем как деятельности, направленной на получение разнообразных (часто весьма “изощренных”) представлений “сигнала” истина, никак не согласуется с обычным пониманием участниками таких процессов своей деятельности как части процесса познания реальных объектов и явлений» [11, c. 415–416].

 

Финитарность, органически связанная с процедурностью

Далее в этой же работе Шанина «процедурность», «процессуальность» подхода в осмыслении суждений (и рассуждений) дополняется принципиальными соображениями, касающимися «аккуратного, уважительного» обращения с понятием «бесконечность» [11, c. 416–421].

 

«В современных учебниках логики в качестве экспликации представлений о значениях замкнутых предметных термов и замкнутых формул (суждений) предлагаются определения рекурсией по шагам процессов порождения предметных термов и формул. В случаях, когда среди подразумеваемых предметных областей допускаются не только конечные области, такие рекурсивные определения вызывают “тяжелые” вопросы, связанные с использованием при разъяснениях кванторов общности и существования “далеко идущих” идеализаций.

 

Ввиду этого “базу” для экспликаций имеет смысл искать в таких ситуациях, которые складываются при мысленном выделении на макроскопическом уровне детализации и “охвата” в пространстве-времени того или иного фрагмента “мира экспериментальных данных”, состоящего из конечного набора конечных множеств (называемых обычно предметными областями), каждое из которых состоит из чувственно воспринимаемых и “практически неизменных” (на протяжении интересующего нас промежутка времени и в интересующих нас отношениях) объектов. При этом предполагается, что выделенный набор предметных областей “осваивается” посредством конечного набора материальных, или мысленных, или смешанных потенциально выполнимых (и охарактеризованных “практически отчетливо”) процедур, оставляющих “практически неизменными” объекты, к которым они применяются, и имеющих своими результатами при применении к допустимым (т. е. согласованным с типом процедуры) исходным данным в одних случаях – один из “сигналов” И, Л (в этих случаях говорят, что процедура определяет предикат), а в других случаях – конкретный элемент одной из предметных областей (в этих случаях процедура определяет предметную операцию или предметную функцию).

 

Назовем ситуации этого типа вполне финитарными.

 

5. При вполне финитарных ситуациях имеется возможность формировать многошаговые процедуры, “составляемые” в том или смысле из “базисных” процедур. С этой целью используют, в частности, предметные термы и формулы. Конкретный замкнутый предметный терм (конкретное суждение) может играть роль зашифрованного описания процесса выполнения при заданном наборе предметных констант определенной (вообще говоря, многошаговй) процедуры (результат процесса называют значением рассматриваемого выражения), и именно осуществления (часто не осознаваемые) таких процессов фактически формируют интуитивные представления, связываемые обычно с термином смысл замкнутого предметного терма (соответственно, смысл суждения).

 

Такая экспликация принципиально отличается от предложенной Фреге, ибо акцент делается не на объекте, являющемся значением языкового выражения (и оказывающемся в “поле зрения” лишь после завершения процесса), а на определенной деятельности, в которой фигурируют рассматриваемые предметные области и “базисные” процедуры. (По-видимому, Фреге было чуждо истолкование языковых выражений, даже в реальных ситуациях, в терминах, касающихся каких-либо процессов и человеческой деятельности).

 

Часто формулируемые в логической литературе рекурсивные определения значений языковых выражений “намекают” на способ развертывания подразумеваемых процессов, но в то же время они “затушевывают” возможное непосредственное описание. Непосредственно и в наглядной форме процедура описывается в виде процесса последовательного продвижения по дереву синтаксического разбора от “листьев” дерева к его “корню” с выполнением очередных “базисных” процедур (или, при использовании “строчной” записи языковых выражений, – в виде процесса, слагающегося из выявления внутри текста всех выражений, символизирующих однократное применение той или иной “базисной” процедуры или пропозициональной функции к синтаксически допустимому набору констант, получения значений таких выражений, подстановки последних вместо самих выражений, применения к полученному выражению таких же шагов, и т. д.). Здесь предполагается, что предварительно все вхождения в исходное выражение кванторов общности и существования “переведены” стандартным способом (продвижением “изнутри” выражения) в семантически равнозначные конечные конъюнкции и (соответственно) конечные дизъюнкции.

 

6. При вполне финитарных ситуациях распространенным способом выражения некоторых знаний о тех или иных введенных в рассмотрение объектах и процедурах является следующий процедурный способ: описывается некоторая, вообще говоря, многошаговая процедура, “составляемая” в том или ином смысле из исходных процедур и сформулированная применительно к выбранному набору предметных констант; это описание дополняется сообщением об ожидаемом результате.

 

В практике языкового выражения конкретных знаний сформировался определенный стандартный ожидаемый результат (вообще говоря, не произносимый, но подразумеваемый при сообщении собеседнику конкретного знания с утвердительной интонацией) – это сигнал да (в некоторых контекстах – сигнал истина). Суждения – это языковые конструкции, приспособленные именно к такому способу сообщения знаний.

 

Человек, формулирующий с утвердительной интонацией какое–либо суждение в качестве своего знания об объектах из рассматриваемых предметных областей и о некоторых “базисных” процедурах, фактически имеет в виду следующее: я описываю в зашифрованном виде определенный эксперимент, и его ожидаемым результатом является сигнал да (варианты: сигнал истина, сигнал И).

 

Иногда ожидаемые результаты описываются в иных формах. Однако последние в практике языкового общения обычно сводят к “стандарту” с помощью подходящих способов (в некоторых случаях – с помощью отношений равенства в рассматриваемых предметных областях).

 

В практике языкового общения людей иногда то или иное конкретное суждение (формулируемое применительно к вполне финитарной ситуации) называют истинным суждением (верным суждением), имея в виду, например, такое разъяснение: Суждение называют истинным (верным), если оно описывает (отражает) то, что имеет место в действительности. Однако это разъяснение само нуждается в каком-то “процедурном” объяснении. По-видимому, интуитивная основа использования термина истинное суждение такова, что, применяя его, фактически имеют в виду следующее: результат эксперимента, “описываемого” этим суждением, представляет собой сигнал да. Однако это разъяснение не всегда осознается в качестве “базисного”. Возможно, именно в этом лежат корни предложенной А. Тарским концепции истинности, не совместимой с очерченными выше семантическими представлениями “процедурного характера”.

 

7. При выходе за рамки вполне финитарных ситуаций экспликации, о которых идет речь, осуществляются посредством экстраполяций (во многих случаях “весьма идеализированных”) упомянутых выше представлений о процедурах, связываемых с замкнутыми термами и суждениями, посредством формирования некоторых представлений воображения, дополняемых (в языке) подходящими, выражающими эти представления, суждениями. Последние рассматриваются (при тех или иных мотивировках) как допустимые исходные данные для процессов логического вывода. Например, так обстоит дело, когда некоторые из включенных в рассмотрение объектов не поддаются чувственному восприятию (например, ядро планеты Земля, собственный гипоталамус и т. п.), но на основе уже сложившейся “картины мира” или некоторых гипотез человек формирует представления о “естественных” экстраполяциях некоторых, осуществимых лишь в иных условиях, процедур. Во многих случаях экстраполяции имеют в своей основе “картину”, формируемую воображением в предположении, что мысленно устранены реальные препятствия к выполнению тех или иных действий, направленных на “экспериментальное освоение” объектов (здесь по существу используется форма сослагательного наклонения). В этих экстраполяциях “уязвимым звеном” во многих случаях оказывается мотивировка приемлемости используемых средств логического вывода – ведь последние соответствуют своему назначению лишь тогда, когда при применениях этих средств возникают лишь истинные “в экстраполированном смысле” суждения.

 

Аналогично и в то же время своеобразно (ввиду центральной роли “угадывания” исходных данных для процессов логического вывода) производится экстраполяция представлений о процедурах в случаях, когда формируются представления о ранее существовавших или ожидаемых в будущем ситуациях “вполне финитарного типа”.

 

Многие ситуации из разнообразных областей человеческой деятельности допускают “практически приемлемое” моделирование посредством подходящих вполне финитарных ситуаций или более сложных ситуаций, но не апеллирующих к тому или иному варианту представлений “о бесконечности”. В то же время, радикально усложняется (в соответствии с современными представлениями физики и космологии) характер экстраполяций при формировании представлений воображения, касающихся ситуаций в микромире или мегамире (дело доходит до отказа от “прямых” экстраполяций и перехода к существенно иным принципам моделирования подразумеваемых ситуаций). Радикально усложняется также проблема экстраполяции представлений “процедурного” характера при использовании того или иного варианта представлений “о бесконечности”. При использовании представлений этого рода (в частности, в математике) возникает усложняющаяся в соответствии с характером используемых идеализаций иерархия экстраполяций, и лишь для “начальных этажей” этой иерархии (например, для “этажа”, занимаемого финитарной математикой) удается предложить “сравнительно наглядные” экстраполяции представлений, о которых выше шла речь. (В конкретных областях финитарной математики изучаемыми объектами являются знакосочетания и тотальные алгорифмы некоторых синтаксически охарактеризованных типов, и рассматриваются лишь такие суждения, которые “сводимы по смыслу” к бескванторным суждениям или к суждениям, представимым в виде замыкания бескванторной формулы кванторами общности, связывающими все входящие в формулу переменные. При этом при формировании представлений об изучаемых объектах принимается абстракция потенциальной осуществимости, но не допускается, как чрезмерная, абстракция завершенной бесконечности)».

 

Представляется уместным привести запись (набросок) ещё одного доклада Н. А. Шанина [см.: 12], сделанную им самим.

 

Принципиальная роль Гёделевых нумераций в проблеме разъяснения смысла суждений о натуральных числах

«1. Изобретённая К. Гёделем техника кодирования натуральными числами конструктивно определяемых объектов разнообразных типов (в частности, всевозможных слов в заданном алфавите и слов специальных видов, термов и формул языков математической логики, выводов в аксиоматических теориях, а также ординалов из конкретных конструктивно заданных шкал трансфинитных чисел), позволила обогатить математическую логику знаниями фундаментального характера.

 

Среди этих знаний выделяются доказанные самим К. Гёделем теоремы о свойствах аксиоматических построений арифметики, фундаментальные теоремы С. К. Клини о рекурсивных функциях, а также знание способов перенесения в подходящей форме правила трансфинитной индукции из теории множеств в “достаточно богатые” арифметические языки. Последнее обстоятельство позволяет осмыслить принципиальные трудности при попытках формулирования “в завершенном виде” способа понимания в арифметических языках суждений вида ∀xA(x), где x – переменная для натуральных чисел (даже в тех A(x) – примитивно-рекурсивный предикат).

 

2. В конструктивной математике с термином “натуральное число” связывается определение, характеризующее (в традиционном варианте) определяемые объекты как слова 0, 01, 011, 0111 … в двухбуквенном алфавите {0,1}, порождаемые посредством конкретных (и очевидных) правил порождения. Л. Э. Я. Брауэр, имея в виду такой характер этих объектов, ввёл в язык арифметики конструктивный квантор существования (используем здесь знак Ǝ⁺) и сформулировал специфический способ понимания суждений вида Ǝ⁺xB(x). В то же время вопрос о “достаточно отчётливом” разъяснении квантора общности ∀ фактически не возникал.

 

Лишь после работ К. Гёделя и Г. Генцена было осознано, что этот вопрос тесно связан с вопросом о приемлемости с “содержательной” точки зрения “арифметических” правил трансфинитной индукции, сформулированных для тех или иных шкал конструктивных ординалов. А последний вопрос – предмет острых дискуссий (в последних активно участвовал и К. Гёдель).

 

Лишь дискуссии на эту тему привлекли внимание математиков конструктивного направления к “семантической размытости” суждений вида ∀xA(x), обнаруживаемой даже в тех случаях, когда A(x) – “сравнительно простой” предикат.

 

3. В этом докладе будет продемонстрирован на конкретных примерах характер возникающих семантических трудностей и будет кратко очерчен некоторый подход к преодолению этих трудностей в рамках финитарного направления в математике»[2].

 

Убедительный итог

Основу компьютерной программы для информационного моделирования образует алгорифм, который является её «скелетом». Убедительным подкреплением концепции Н. А. Шанина явился алгорифм АЛПЕВ (Алгорифм Поиска Естественного Вывода) [см.: 6]. В 1961 г. в Ленинградском отделении Математического института им. В. А. Стеклова (ЛОМИ) была организована группа математической логики, руководителем которой он оставался до своего ухода из жизни. В этом же году основные идеи АЛПЕВ были изложены Шаниным на IV Всесоюзном математическом съезде.

 

Работа группы началась с поставленной Шаниным задачи построения алгорифма, который выдавал бы «достаточно хороший» и «естественный» вывод (данного утверждения из данных аксиом). Такая постановка задачи была связана с тем, что известные алгорифмы, дающие в принципе для каждой выводимой формулы какой-то ее вывод, могли выдавать вывод излишне длинный (например, содержащий повторения некоторых участков вывода и имеющий вид, который трудно воспринять человеку).

 

Решающее значение имели идеи Шанина по методике расчленения процесса: этап поиска вывода, этап «прополки» (устранения излишних частей вывода) и этап «монтажа» (перестройки вывода в форму, которую легко воспринимает человек) и по методике поиска «родственностей», т. е. похожих частей в формулировке испытуемого суждения. Эти усовершенствования принципов конструирования программы получили дальнейшее развитие в ряде работ по поиску вывода. На протяжении 1962 г. на заседаниях Ленинградского семинара по математической логике Шаниным освещался ход работ его группы по усовершенствованию АЛПЕВ. Принципы построения окончательного варианта были впервые доложены на заседаниях Ленинградского математического общества в марте-апреле 1963 г. Программа, реализующая АЛПЕВ, была составлена для электронно-вычислительной машины «Урал-4», в то время одной из лучших отечественных ЭВМ[3]. На I Всесоюзном симпозиуме по машинному поиску логического вывода (г. Тракай, Литовская ССР, июль 1964 г.) было доложено об успешном построении и испытании АЛПЕВ.

 

Первоначально рассматривался вывод в классическом исчислении высказываний. В связи с принципиально более трудной задачей поиска вывода в исчислении предикатов (узком[4]) Шанин выдвинул важную идею введения метапеременных, которая дала толчок к построению С. Ю. Масловым обратного метода поиска вывода [см.: 3]. Эта идея состоит в следующем: при поиске возможных посылок применений правил для кванторов ∀→ и →Ǝ вместо конкретных значений термов подставляются некоторые «метапеременные», значения которых выявляются позже, при получении аксиом.

 

Итак, «пионерская» и весьма эффективная работа по АЛПЕВ действительно является убедительным подкреплением адекватности подхода Н. А. Шанина к построению фундамента современного информационного моделирования.

 

Список литературы

1. Бурбаки Н. Очерки по истории математики. – М.: Издательство иностранной литературы, 1963. – 291 с.

2. Караваев Э. Ф., Никитин В. Е. Природа информационного моделирования и его актуальность // Философия и гуманитарные науки в информационном обществе.– 2018. – № 3 (21). – С. 36–63. – [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://fikio.ru/?p=3272 (дата обращения 10.07.2019).

3. Маслов С. Ю., Матиясевич Ю. В., Минц Г. Е., Оревков В. П., Слисенко А. О. Николай Александрович Шанин (к шестидесятилетию со дня рождения) // Успехи математических наук. – 1980. – Т. 35. – Вып. 2 (212). – С. 241–245.

4. Методологические проблемы преподавания математики. Сборник научных трудов. – М.: Наука. Центральный совет философских (методологических) семинаров при Президиуме АН СССР, 1987. – 150 с.

5. Успенский В. А. Машина Поста. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1988. – 96 с.

6. Шанин Н. А., Давыдов Г. В., Маслов С. Ю., Минц Г. Е., Оревков В. П., Слисенко А. О. Алгорифм машинного поиска естественного логического вывода в исчислении высказываний. – М. – Л.: Наука, 1965. – 39 с.

7. Шанин Н. А. О некоторых логических проблемах арифметики // Труды МИАН СССР. – 1955. – Т. 43. – С. 3–112.

8. Шанин Н. А. О конструктивном понимании математических суждений // Труды МИАН СССР. – 1958. – Т. 52. – С. 226–311.

9. Шанин Н. А. Понятия и логические средства конструктивной математики как средства теоретических моделей информационного типа // Научная конференция «Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке». 16–17 июня 1994 г. Тезисы докладов. – Ч. I. Современные направления логических исследований. – Санкт-Петербург, 1994. – С. 1–5.

10. Шанин Н. А. О процедурном подходе к разъяснению смысла суждений // Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке. Материалы пятой Общероссийской научной конференции. – Санкт-Петербург, 1998. – С. 415–421.

11. Шанин Н. А. Эскиз финитарного варианта математического анализа. (Препринт ПОМИ–06–2000). – СПб.: Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова.

12. Шанин Н. А. Принципиальная роль гёделевых нумераций в проблеме разъяснения смысла суждений о натуральных числах // Современная логика: Проблемы теории, истории и применения в науке. Материалы IX Общероссийской научной конференции, 22–24 июня 2006 г.

13. Караваев Э. Ф. Н. А. Шанин и подготовка специалистов по логике на Философском факультете СПбГУ // Философский полилог: Журнал Международного центра изучения русской философии. – 2019. – № 1 (5). – С. 123–138. DOI: https://10.31119/phlog.2019.5.8.

14. Shanin–100. EIMI Conference // Conference in Honor of Nikolai A. Shanin on the Occasion of His 100th Anniversary. – [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.pdmi.ras.ru/EIMI/2019/dlc (дата обращения 10.07.2019).

 

References

1. Burbaki N. Essays on the History of Mathematics. [Ocherki po istorii matematiki]. Moscow, Izdatelstvo inostrannoy literatury, 1963, 291 p.

2. Karavaev E. F., Nikitin V. E. The Nature of Information Modeling and Its Actuality [Priroda informatsionnogo modelirovaniya i ego aktualnost]. Filosofiya i gumanitarnye nauki v informatsionnom obschestve [Philosophy and Humanities in Information Society], 2018, № 3 (21), pp. 36–63. Available at: http://fikio.ru/?p=3272 (accessed 10 July 2019).

3. Maslov S. Y., Matiyasevich Y. V., Mints G. E., Orevkov V. P., Slissenko A. O. Nikolai Alexandrovich Shanin (Dedicated to the 60^th Anniversary of the Birth). [Nikolai Alexandrovich Shanin (k shestidesyatiletiyu so dnya rozhdeniya)]. Uspekhi matemaicheskikh nauk (Russian Mathematical Surveys), 1980, Vol. 35, Iss. 2 (212), pp.241–245.

4. Methodological Problems of Teaching Mathematics. Collected Scientific Works [Metodologicheskiye problemy prepodavaniya matematiki. Sobraniye nauchnykh trudov]. Moscow, Nauka, Tsentralnyy sovet filosofskikh (metodologicheskikh) seminarov pri Prezidiume AN SSSR, 1987, 150 p.

5. Uspenskiy V. A. Post–Turing Machine [Mashina Posta]. Moscow, Nauka, Glavnaya redaktsiya fiziko-matematicheskoy literatury, 1988, 96 p.

6. Shanin N. A., Davydov G. V., Maslov S. Y., Mints G. E., Orevkov V. P., Slissenko A. O. The Algorithm of Machine Search for Natural Logical Inference in Propositional Calculus [Algorifm mashinnogo poiska estestvennogo logicheskogo vyvoda v ischislenii vyskazyvaniy]. Moscow, Leningrad, Nauka, 1965, 39 p.

7. Shanin N. A. On Some Logical Problems of Arithmetic [O nekotorykh logicheskikh problemakh arifmetiki]. Trudy MIAN SSSR (Proceedings of the V. A. Steklov Mathematical Institute of the Academy of Sciences of the USSR), 1955, Vol. 43, pp. 3–112.

8. Shanin N. A. On the Constructive Understanding of Mathematical Judgments [O konstruktivnom ponimanii matematicheskikh suzhdeniy]. Trudy MIAN SSSR (Proceedings of the V. A. Steklov Mathematical Institute of the Academy of Sciences of the USSR), 1958, Vol. 52, pp. 226–311.

9. Shanin N. A. Concepts and Logical Means of the Constructive Mathematics as Means of Theoretical Models of Information Type [Ponyatiya i logicheskiye sredstva konstruktivnoy matematiki kak sredstva teoreticheskikh modeley informatsionnogo tipa]. Nauchnaya konferentsiya “Sovremennaya logika: problemy teorii, istorii i primeneniya v nauke”. 16–17 iyunya 1994 g. Tezisy dokladov. – Ch. I. Sovremennye napravleniya logicheskikh issledovaniy (The Scientific Conference “Modern Logic: Problems of Theory, History and Application in Science”, 16–17 June 1994. Theses of Reports. Part I.). Saint Petersburg, 1994, pp.1–5.

10. Shanin N. A. On the Procedural Approach to Explaining the Meaning of Judgments [O protsedurnom podkhode k razyasneniyu smysla suzhdeniy]. Sovremennaya logika: problemy teorii, istorii i primeneniya v nauke. Materialy pyatoy Obscherossiyskoy nauchnoy konferentsii (The Modern Logic: Problems of Theory, History and Application in Science. Proceedings of the Fifth All–Russian Scientific Conference), Saint Petersburg, 1999, pp. 415–421.

11. Shanin N. A. A Sketch of a Finitary Version of Mathematical Analysis [Eskiz finitarnogo variant matematicheskogo analiza]. Preprint–06–2000 (The Preprint of PDMI–06–2000). Saint Petersburg, Petersburg Department of Steklov Institute of Mathematics.

12. Shanin N. A. The Principal Role of the Gödel’s Enumerations in the Problem of Clarification of the Meaning of Judgments about the Natural Numbers [Principialnaya rol gedelevskykh numeratsiy v probleme razyasneniya smysla suzhdeniy o naturalnykh chislakh]. Sovremennaya logika: problemy teorii, istorii i primeneniya v nauke. Materialy IX Obscherossiyskoy nauchnoy konferentsii. 22–24 iynya 2006 g. (The Modern Logic: Problems of Theory, History and Application in Science. Proceedings of the IX All–Russian Scientific Conference, 22–24 June 2006).

13. Karavaev E. F. N. A. Shanin and the Training of Specialists in Logic at the SPbSU Faculty of Philosophy [N. A. Shanin i podgotovka spetsialistov po logike na Filosofskom fakultete SPbGU]. Filosofskiy polilog: Zhurnal Mezhdunarodnogo tsentra izutseniya russkoy filosofii. (Philosophical Polylogue: The Journal of the InternationalCenter for the Study of Russian Philosophy), 2019, № 1 (5), pp. 123–138.

14. Shanin–100. EIMI Conference. Available at: http://www.pdmi.ras.ru/EIMI/2019/dlc (accessed 10 July 2019).